Надежда.
Согласно статье 210 Гражданского кодекса Российской Федерации (далее - ГК РФ) обязанность по содержанию жилья возлагается законом на его собственника.
Это означает, что и оплачивать коммунальные услуги (в том числе на общедомовые нужды) должен, прежде всего, собственник (с учётом того, что остальные члены семьи, проживающие в квартире, солидарно с ним отвечают за оплату тех коммунальных услуг, которые поставлялись непосредственно в жилое помещение).
Согласно части 4 статьи 1152 ГК РФ принятое наследство признается принадлежащим наследнику со дня открытия наследства независимо от времени его фактического принятия, а также независимо от момента государственной регистрации права наследника на наследственное имущество, когда такое право подлежит государственной регистрации.
Поэтому платить за коммунальные услуги придётся наследнику (если он принял наследство в установленный срок), либо государству (если имущество будет признано выморочным, т.е. таким, у которого нет наследников).